Teoremi di incompletezza di Goedel

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_incompletezza_di_G%C3%B6del

Il Primo Teorema di incompletezza di Gödel dice che:

In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sonodimostrabili in T.

Con qualche semplificazione, il primo teorema afferma che:

In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.[1]

 

Secondo Teorema di incompletezza

Il secondo teorema di incompletezza di Gödel, che si dimostra formalizzando una parte della dimostrazione del primo teorema all’interno del sistema stesso, afferma che:

Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all’interno di T.

Con qualche semplificazione,

Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.

http://www.ildiogene.it/EncyPages/Ency=Godel.html